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 Prueba de hipotesis para proporciones Est ind clase02

1. 1. PRUEBA DE HIPOTESIS II ESTADISTICA INDUSTRIAL Ing. William León Velásquez TEMA 02
2. 2. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA PROPORCIONE S Error tipo II Ing William León Velásquez 2
3. 3. CONTENIDO  PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCION  PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES  ERROR TIPO II Ing William León Velásquez 3
4. 4. PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN 4
5. 5. PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN  Las pruebas de hipótesis con proporciones son necesarias en muchas áreas del conocimiento y en especial en la administración e ingeniería. 5  Se probará que la hipótesis nula es: p = p0  p es el parámetro de la distribución binomial.  po es el valor poblacional • Se considerará el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxito en un experimento binomial sea igual a un cierto valor especifico. Ing William León Velásquez
6. 6. 6  La información que frecuentemente se utilizará para la estimación de una proporción real o verdadera (porcentaje o probabilidad) es una proporción muestral.  Que se calcula de la siguiente manera PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN Donde: x es el número de veces que ha ocurrido un evento en n ensayos. 𝑝 = 𝑥 𝑛 Ing William León Velásquez
7. 7. 7 Ejemplo,  Si una muestra aleatoria de 500 compras realizadas en una tienda, 200 se realizan con tarjeta de crédito. PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN  Entonces se puede utilizar esa cifra como estimación puntual de la proporción real de compras realizadas en ese negocio que se abonaron a tarjetas de crédito. 𝑝 = 200 500 Ing William León Velásquez
8. 8. 8 Las hipótesis serán: La hipótesis nula será lo siguiente: p=po  La hipótesis alterna puede ser una de las alternativas usuales: unilateral o bilateral  Tales como: 000 ..,.., ppopppp  PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN Ing William León Velásquez
9. 9. 9  Un valor Zc calculado a partir de la muestra se compara con un valor critico de Z dados en las tablas.  Zc se obtiene así:  O también se puede utilizar: n qp ppZc .   npq npxZc  PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN Ing William León Velásquez
10. 10. EJEMPLOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN 10 Un político esta interesado en conocer si ha habido un aumento en la proporción (porcentaje) de votantes que lo favorecen en las próximas elecciones; Un productor de cereales puede querer conocer si ha ocurrido o no una baja en la proporción de clientes que prefieren su marca de cereal; Un hospital desea confirmar la afirmación de un fabricante de medicamentos quien indica que su producto cura al 80% de los usuarios. Ing William León Velásquez • El procedimiento para probar una proporción en una población normal es similar al usado para las medias.
11. 11. 11 MÉTODOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN Para probar una proporción De la región de rechazo Por el valor de p Ing William León Velásquez
12. 12. A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) 12 Paso 1 Establecer las hipótesis. Sea po es la proporción admitida o requerida. Ho :p = po H1 : p > po ó p < po ó p ≠ po Ing William León Velásquez
13. 13. 13 Paso 2  Con el nivel de significancia (α) se dibuja la región de rechazo en la curva normal estándar (curva z) indicando el valor de Z proveniente de la tabla Z.  Z α ó α/2 A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) H1: p > po H1: p < po H1: p ≠ po Ing William León Velásquez
14. 14. 14 Paso 3  Indicar el valor de Zc en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2). Zc A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) H1: p > po H1: p < po H1: p ≠ po Ing William León Velásquez
15. 15. 15 Paso 4  Calcular el valor zc para la proporción muestral usando la fórmula n pp p )1( 00  A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) 𝑝 = 𝑥 𝑛 𝑧 𝑐 𝑝 − 𝑝0 𝜎 𝑝 Ing William León Velásquez
16. 16. 16 Paso 5  Si el valor Zc cae dentro de la región de rechazo (sombreada), entonces se rechaza Ho. Si cae fuera de la región sombreada, entonces no se rechaza la Ho. Escriba la conclusión de la prueba en términos de la Ha A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) Ing William León Velásquez
17. 17. 17 Ejemplo :  Se desea probar si a habido una variación en la proporción de 0.4 de mujeres en las carreras de ingeniería.  En el ultimo examen de admisión realizado se selecciona una muestra de 200 ingresantes y se obtiene una proporción de mujeres de 0.45. A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) • Utilice un nivel de significancia del 0.01 𝑝 = 0.45, n = 200, y α= 0.01. Ing William León Velásquez
18. 18. 18 A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)  Solución: Paso 1 • H0 : p = 0.4 La proporción de mujeres en las carreras de ingeniería es de 0.4 • H1 : p ≠ 0.4 La proporción de mujeres en las carreras de ingeniería es diferente de 0.4 Ing William León Velásquez
19. 19. 19 Paso 2  Usando α= .01,  como es de dos colas α/2= 0.005 Entonces Z= -2.575 A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) Ing William León Velásquez
20. 20. 20 Paso 2  Usando α= .01,  Z= -2.575 y como es de colas el otro Z= 2.575  Entonces el diagrama de la región de rechazo es: .005.005 -2.575 2.575 A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) Ing William León Velásquez
21. 21. 21 Paso 3  Calculando el valor z para la proporción muestral 𝑝 = 0.45, po=0.4  obtenemos:   Z= 0346.0 200 )4.01(4.0 p 45.1 0346.0 4.045.0  A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) Ing William León Velásquez
22. 22. 22 Paso 4  Dibujando z = 1.45 en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2) obtenemos: .005.005 -2.575 2.575 1.45 A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) Ing William León Velásquez
23. 23. 23 Paso 5  Como el valor z está fuera de la región de rechazo (sombreada),  Por lo tanto no se rechaza Ho.  Conclusión:  La proporción de mujeres en las carreras de ingeniería no es diferente de 0.4. A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1) Ing William León Velásquez
24. 24. B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) 24  Sea po es la proporción admitida o requerida.  Paso 1 Se establece las hipótesis: H0 : p = p0 H1 : p > p0 ó p < p0 ó p ≠ p0 Ing William León Velásquez
25. 25. Paso 2  Calcular el valor de Zc para la proporción muestral usando la fórmula: donde 25 n pp p )1( 00  B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) 𝑧 𝑐 𝑝 − 𝑝0 𝜎 𝑝 𝑝 = 𝑥 𝑛 Ing William León Velásquez
26. 26. 26 Paso 3  Utilizando la hipótesis alternativa dibujar la región bajo la curva z que representa los valores extremos y con el valor de Zc. Ir a la tabla y encontrar el valor de p Zc p o p/2 B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) H1: p > po H1: p < po H1: p ≠ po Ing William León Velásquez
27. 27. 27 Paso 4 El valor p = al área de la cola sombreada (s) en el Paso 3. B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
28. 28. 28 Paso 5  Si el valor p< α, entonces se rechaza H0  Si el valor p >= α, entonces no se rechaza H0.  Escribir la conclusión de la prueba, en términos de la Ha B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
29. 29. 29 B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ejemplo :  Se desea probar si a habido una variación en la proporción de 0.4 de mujeres en las carreras de ingeniería.  Se selecciona una muestra de 200 ingresantes y se obtiene una proporción de mujeres de 0.45.  Utilice un nivel de significancia del 0.01 𝑝 = 0.45, n = 200, y α= 0.01. Ing William León Velásquez
30. 30. 30 Paso 1  Formulación de la hipótesis H0 : p = 0.4 La proporción de mujeres en las carreras de ingeniería es de 0.4 H1 : p ≠ 0.4 La proporción de mujeres en las carreras de ingeniería no es de 0.4  Asuma que 𝑝 = 0.45, n = 200, y α = 0.01. B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
31. 31. 31 Paso 2 o Calculo del valor z de 𝑝 o Se obtiene Z = 45.1 0346.0 4.045.0  0346.0 200 )4.01(4.0 p B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
32. 32. 32 Paso 3  El valor P= para una de las áreas. Z= 1.45  =1.4 +0.05 =1.45 B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
33. 33. 33 Paso 3  La región bajo la curva z que contiene los valores extremos de es 0.0735 en ambos lados de la curva P/2P/2 0.07350.0735 B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
34. 34. 34 Paso 4  El valor p de una de las áreas es 0.0735 (p/2)  Por lo tanto el valor total de los dos extremos para poder comparar con el α es sumando las dos regiones del Paso 3 p= 2(el área a la izquierda de 1.45) p= 2(0.0735) p= 0.147 B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Ing William León Velásquez
35. 35. 35 Paso 5  Como alfa es 0.01  Y sabemos que si el valor p >= α, entonces no se rechaza H0  Se tiene que 0.147 >=0.01 por lo tanto no se rechaza la Ho B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2) Conclusión: La proporción de mujeres en las carrera de ingeniería no es diferente de 0.4. Ing William León Velásquez
36. 36. EJEMPLO 1: 36  Se afirma que, de todas los trabajadores que se contratan en una empresa por lo menos el 30 % proviene del cono sur. • Si una muestra de 600 contrataciones tomada al azar de los registros de la oficina de Recursos Humanos revela que de las personas contratadas 153 fueron del cono sur. • Se desea verificar tal afirmación con un nivel de significancia del 1% Ing William León Velásquez
37. 37. 37 SOLUCIÓN:  Para calcular la proporción p lo primero que se ha de hacer es determinar la proporción muestral. ,..255.0 600 153,..600  pn  ,..70.0,...30.0  qp EJEMPLO 1: • Se probará la hipótesis nula p = 0.30 contra la hipótesis alternativa p < 30 con un α=0.01 153x Para calcular el error estándar de la proporción Ing William León Velásquez
38. 38. 38 1.- Hipótesis: 30.0: 30.0: 1 0   pH pH EJEMPLO 1: Ho: El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es del 30% H1: El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es menor del 30% Ing William León Velásquez
39. 39. 39 2.- Cálculo del valor critico 33.2Z con un nivel de significancia del 1 % para una prueba de una cola se tiene α=0.01. EJEMPLO 1: Ing William León Velásquez
40. 40. 40  Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: ZZc  es decir, . 33.2cZ EJEMPLO 1: Ing William León Velásquez
41. 41. 41 3.- Cálculo del estadístico de prueba Aplicando formula se tiene: O también Aplicando: 41.2 0187.0 045.0 00035.0 045.0 600 7.03.0 300.0255.0 .  cc Z x n qp ppZ  41.2 225,11 27 126 180153 )70.0)(30.0(600 )30.0(600153  npq npxZ EJEMPLO 1: Ing William León Velásquez
42. 42. 42 4.- Conclusión: Como Zc es menor que Zα, se rechaza Ho . 33.241.2 cZ EJEMPLO 1: Esto se observa en la grafica donde Zc cae fuera del área de no rechazo .001 -2.33 -2.41  Se puede afirmar con un nivel de significancia del 1% que El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es menor del 30%  Por lo tanto, la afirmación de que, de todas los trabajadores que se contratan en una empresa por lo menos el 30 % proviene del cono sur, es falsa. Zc AREA DE NO RECHAZ O Ing William León Velásquez
43. 43. 43  Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en el sistema eléctrico de vehículos.  El cliente requiere que la proporción de controladores defectuosos no sea mayor de 0.05, y que el fabricante demuestre estas características del proceso de fabricación con este nivel de calidad, con un nivel de significancia del 5 %. EJEMPLO 2: • El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que 4 de ellos son defectuosos. • ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad exigida? Obtener sus conclusiones.Ing William León Velásquez
44. 44. 44 SOLUCIÓN:  Calcular la proporción muestral  Para resolver el problema hay que plantear una hipótesis alternativa unilateral de una cola por la izquierda  Es decir, p< 0.05 EJEMPLO 2: n=200 x=4 𝑝 = 4 200 = 0.02 Para calcular el error estándar de la proporción se tiene que considerar la proporción poblacional de éxitos y fracasos: p=0.05 y q=0.95 Ing William León Velásquez
45. 45. 45 1.- Hipótesis: 05.0: 05.0: 1 0   pH pH EJEMPLO 2: Ho: La proporción de controladores defectuosos es 0.05 H1: La proporción de controladores defectuosos es menor a 0.05 Ing William León Velásquez
46. 46. 46 645,1Z 2.-Cálculo del Z crítico Por tabla se sabe que al 5 % por la cola izquierda es decir un α=0.05 EJEMPLO 2: Ing William León Velásquez
47. 47. 47  Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si  Es decir, ZZc  645,1cZ EJEMPLO 2: Ing William León Velásquez
48. 48. 48 3.- Calculo el Z de los datos Aplicando formula se tiene:  200 95.005.0 05.002.0 . x n qp ppZc  95.1 0154.0 03.0 0002375.0 03.0  cZ EJEMPLO 2: Ing William León Velásquez
49. 49. 49 4.- Conclusión:  Como Zc es menor que Zα, es decir, , se rechaza Ho con un nivel de significancia de 0.05. 645.195.1 cZ EJEMPLO 2:  Esto se podrá observar en una grafica en donde Zc caerá dentro del área de rechazo .005 -1.645 -1.91 • Por lo tanto La proporción de controladores defectuosos es menor a 0.05 Es decir • El fabricante puede demostrar al cliente la calidad exigida Ing William León Velásquez
50. 50. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS PROPORCIONES 50
51. 51. • El objetivo de una prueba de dos muestras es determinar si las dos muestras independientes fueron tomadas de dos poblaciones, las cuales presentan la misma proporción de elementos con determinada característica. PRUEBA DE PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS 51Ing William León Velásquez • La prueba se concentra en la diferencia relativa (diferencia dividida entre la desviación estándar de la distribución de muestreo) entre las dos proporciones muestrales. • Diferencias pequeñas denotan únicamente la variación casual producto del muestreo (se acepta H0), en tanto que grandes diferencias significan lo contrario (se rechaza H0).
52. 52. • La proporción de semillas que germinan siendo tratadas o no con un funguicida. • El porcentaje de hombres y de mujeres que votan a determinado candidato. • La proporción de piezas defectuosas de un lote de fabricación, correspondiente al turno diurno y nocturno PRUEBA DE PROPORCIONES DE DOS MUESTRAS • Ejemplos: 52Ing William León Velásquez
53. 53. • Para efectuar esta comparación se requiere  Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída de la población 1 con parámetro p1  Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída de la población 2 con parámetro p2 REQUISITOS 53Ing William León Velásquez
54. 54. • Se comparará las dos proporciones haciendo inferencia sobre p1-p2 (diferencia entre las dos proporciones poblacionales). •Si las dos proporciones poblacionales son iguales, entonces p1-p2 = 0. •El mejor estimador de p1-p2 es la diferencia entre las dos proporciones muestrales: PRUEBA DE PROPORCIONES DE DOS POBLACIONES 54 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑥1 𝑛1 − 𝑥2 𝑛2 Ing William León Velásquez
55. 55. EL ESTADISTICO DE LA PRUEBA 55 Para obtener el estadístico Zc de la diferencia de proporciones Proporción ponderada 0 por Ho 𝑧 = 𝑝1 − 𝑝2 − 𝑃1 − 𝑃2 𝑝 1 − 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑝 = 𝑛1 𝑝1 + 𝑛2 𝑝2 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑝 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑛1 + 𝑛2 Ing William León Velásquez
56. 56. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing William León Velásquez 56 1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha 56 Ho: P1 – P2 = 0 Ha: P1 – P2 ≠ 0 Ha: P1 – P2 > 0 Ha: P1 – P2 < 0 La hipótesis nula es: La hipótesis alternativa puede ser:
57. 57. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS • El nivel de significancia es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera es a lo que se llama error Tipo I. • El nivel de significancia se define con la letra griega alfa (α ). • Se le llama también nivel de riesgo. Ing William León Velásquez 2. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 5757
58. 58. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS La zona de rechazo tiene: • Una magnitud dada por α y • Una dirección dada por la hipótesis alternativa. • A través de la tabla Z se obtendrá el estadístico critico Ing William León Velásquez 58 2 Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo 58
59. 59. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing William León Velásquez 4. Calcular el estadístico de prueba a partir de los datos muestrales considerando H0 como verdadera 5959 𝑧 = 𝑝1 − 𝑝2 𝑝 1 − 𝑝 1 𝑛1 + 1 𝑛2 𝑝 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑛1 + 𝑛2 Donde la proporción ponderada 𝑝 = 𝑛1 𝑝1 + 𝑛2 𝑝2 𝑛1 + 𝑛2
60. 60. PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Ing William León Velásquez 5. Decidir si H0 no se rechaza o se rechaza. Y Concluir en términos del contexto del problema.